Encore les formules de duplication - Corrigé

Modifié par Clemni

Énoncé

Soit  \(x\)  un réel.

1. En utilisant les formules d'addition et de duplication, démontrer que : \(\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)\) .

2. Déterminer une expression de \(\sin(3x)\)  en fonction de \(\sin(x)\) .

Solution

Soit  \(x\) un réel.

1. En écrivant \(3x=2x+x\) , on a :
\(\begin{align*}\cos(3x)=\cos(2x+x)& = \cos(2x)\cos(x)-\sin(2x)\sin(x)\\& = (2\cos^2(x)-1)\cos(x)-2\sin(x)\cos(x)\sin(x)\\& = 2\cos^3(x)-\cos(x)-2\sin^2(x)\cos(x)\\& = 2\cos^3(x)-\cos(x)-2(1-\cos^2(x))\cos(x)\\& = 2\cos^3(x)-\cos(x)-2\cos(x)+2\cos^3(x)\\& = 4\cos^3(x)-3\cos(x)\end{align*}\)
donc \(\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)\) .

2. On a :
\(\begin{align*}\sin(3x)=\sin(2x+x)& =\sin(2x)\cos(x)+\cos(2x)\sin(x)\\& = 2\sin(x)cos(x)\cos(x)+(1-2\sin^2(x))\sin(x)\\& = 2\sin(x)\cos^2(x)+\sin(x)-2\sin^3(x)\\& = 2\sin(x)(1-\sin^2(x))+\sin(x)-2\sin^3(x)\\& = 2\sin(x)-2\sin^3(x)+\sin(x)-2\sin^3(x)\\& = -4\sin^3(x)+3\sin(x)\end{align*}\)
donc \(\sin(3x)=-4\sin^3(x)+3\sin(x)\) .

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
Télécharger le manuel : https://forge.apps.education.fr/drane-ile-de-france/les-manuels-libres/mathematiques-terminale-expert ou directement le fichier ZIP
Sous réserve des droits de propriété intellectuelle de tiers, les contenus de ce site sont proposés dans le cadre du droit Français sous licence CC BY-NC-SA 4.0